08：00-24:00
已知橢圓
()的離心率
，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．
(1) 求橢圓的方程；
(2) 斜率為的動直線與橢圓交于兩點，在平面上是否存在定點，使得當直線與直線的斜率均存在時，斜率之和是與無關的常數?若存在，求出所有滿足條件的定點的坐標；若不存在，請說明理由．
分析與解(1) 根據題意，通徑長
，于是橢圓的方程為
．
(2) 法一 仿射變換
利用仿射變換．設定點的坐標為，平移坐標系，使點為坐標原點，則橢圓方程變為
當不過點時，設動直線的方程為，則聯立直線與橢圓方程，有
整理得的系數為
而的系數為
根據題意，直線與直線的斜率之和
為定值．于是
解得，
或，
．對應的點在橢圓上，于是不需要考慮過點的情形．
綜上所述，所有滿足條件的定點的坐標為
或
．
注可以將橢圓仿射為圓，則直線的斜率為
，于是點始終平分弧，進而可取，此時，因此直線與直線的斜率始終互為相反數，符合題意．
法二 直接計算
設
，與橢圓方程聯立得設
，則有直線的斜率之和
當
時斜率的和恒為，解得
綜上所述，所有滿足條件的定點的坐標為
或
根據學生的高考分數、意向專業 為您查找適合你的院校列表， 24小時內短信電話發送給你！
